Visa påGitHub
Fråga 1
Q:
Vad menas med en odämpad harmonisk svängning? Hur beräknas dess komplexa amplitud?
A:
$Asin(\omega t + \phi)$ är en odämpad harmonisk svängning. Man räknar ut den komplexa amplituden genom: $A(i\omega)=|H(i\omega)|$
Fråga 2
Q:
Hur kan man definiera deltafunktionen?
A:
$\delta(t)=\lim{\Delta \rightarrow 0}p\Delta(t)$\ \ $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t)dt=f(0)$
Fråga 3
Q:
Vilket samband finns mellan stegfunktionen och deltafunktionen?
A:
$\theta(t)' = \delta(t)$
Fråga 4
Q:
Definiera Laplacetransform av en funktion. Har alla funktioner en Laplacetransform? Om inte så förklara varför.
A:
$\mathcal{L} f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(t)dt=F(s),> s=\sigma + i \omega$\
Alla funktioner har inte en laplacetransform. Integralen måste konvergera för att det ska finnas en sådan. T.ex:\ $f(t)=1, \mathcal{L}f(t) = \int{-\infty}^{\infty} e^{-st}dt = [\frac{1}{s} e^{-st}]{-\infty}^{+\infty} $
Fråga 5
Q:
Härled derivationsregeln för den ensidiga Laplacetransformationen.
A:
Använd regel (19):\ $\mathcal{L}I (f(t)) = F(s)$ så $\mathcal{L}I (f'(t)) =\mathcal{L}I (f'(t) \theta (t)) = sF(s) - f(0)$\ Använd regel (16):\ $\mathcal{L}(f(t)) = s\mathcal{L}(f(t)) = (f(t)\theta(t))' = f'(t)\theta(t) + f(t)\delta(t) = f'(t)\theta(t) + f(0)\delta(t)$\ VL: $\mathcal{L}((f(t)\theta(t))') = s\mathcal{L}(f(t)\theta(t)) = s\mathcal{L}(f(t)) $\ \ HL: $\mathcal{L}(f'(t)\theta(t)) + \mathcal{L}(f(0)\delta(0)) = \mathcal{L}(f'(t)\theta(t)) +f(0)1 = \mathcal{L}I(f'(\theta(t))) + f(0) = \mathcal{L}I(f(t)) = s\mathcal{L}I(f(t)) - f(0) $
Fråga 6
Q:
Vad blir faltningarna $\delta * f$ och $\delta ^{(n)} * f$?
A:
$\delta ^{(n)} * f = f^{(n)}$ t.ex. $\delta ' * f = f'$ eftersom $\mathcal{L}^{-1}(sF(s)) = f'(t)$ och $\mathcal{L}(\delta '(t)) = s$
Fråga 7 - viktig
Q:
Vad menas med att ett system i insignal- utsignalform är:
a) Linjärt
b) Tidsinvariant
c) Stabilt
d) Kausalt
A:
a) Linjärt: $\mathcal{S}(aw1 + bw2) = a\mathcal{S}w1 + b\mathcal{S}w2$
b) Tidsinvariant: Ifall $\mathcal{S}f(t)=y(t)$ så $\mathcal{S}f(t-\tau)=y(t-\tau)$
c) Stabilt: Ifall insignalen är begränsad så är även utsignalen begränsad.
d) Kausalt: Orsak föregår verkan. Insignalen $f(t)=0$ för $t<t0$ så är utsignalen $y(t)=0$ för $t<t0$
Fråga 8 - viktig
Q:
Under vilka villkor på impulssvaret är ett linjärt system i insignal-utsignalform:
a) Tidsinvariant - kommer ej
b) Stabilt
c) Kausalt
A:
a) Tidsinvariant: kommer ej
b) Stabilt: Om gränsvärdet $\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|dt$ är konvergent så är systemet stabilt.
c) Kausalt: Ifall $h(t)$ är en kausal funktion. T.ex. ifall $h(t)$ innehåller $\theta(t)$ så är $h(t)=0$ för $t<0$
Fråga 9
Q:
System i insignal-utsignalform kan ibland beskrivas som faltningar med en fix funktion. Under vilka villkor på systemet gäller detta och vad kallas den fixa funktionen?
A:
Detta gäller för LTI-system (Linjärt tidsinvarianta) där $h(t)$ är impulssvaret och utsignalen $y(t)=f(t)*h(t)$
Fråga 10
Q:
Vilka samband finns mellan stegsvar och impulssvar för ett linjärt tidsinvariant system?
A:
Derivatan av stegsvaret är impulssvaret. Detta ges som: $(\mathcal{S}\theta(t))' = h(t)$
Fråga 11
Q:
Ange impulssvaret för en derivation och en fördröjning.
A:
Då impulssvaret är $\delta(t)$ så är dess derivata $\frac{d}{dt}\delta(t)=\delta'(t)$ och en fördröjning för $\delta(t)$ är $\delta(t-a)$.
Fråga 12
Q:
Definiera överföringsfunktionen för ett LTI-system.
A:
Överföringsfunktionen är laplacetransformen av impulssvaret\ $\mathcal{L}(h(t)) = H(s)$ eller $\frac{\mathcal{S}e^{st}}{e^{st}}$
Exempel:
Utsignal kan beräknas med hjälp av frekvensfunktionen $F_n(\omega)=H(s)$, se fråga 14.
Fråga 13
Q:
Vilka villkor måste man lägga på ett system för att det skall ha en frekvensfunktion? Ange sambandet mellan frekvens- och överföringsfunktionen.
A:
För ett stabilt system så: $F_n(\omega) = H(i\omega)$
Fråga 14
Q:
Hur kan ett systems svar på en sinusfunktion bestämmas, då frekvensfunktionen för systemet är känd?
A:
$A(\omega)=|Fn(\omega)|$, $\phi(\omega)=arg(Fn(\omega))$ och $\mathcal{S}sin(\omega t) = A(\omega)sin(\omega t + \phi(\omega))$\ Exempel: Vad är svaret på sin2t?\ $F_n(\omega) = \frac{1}{i\omega + 1} \Leftrightarrow H(s)=\frac{1}{s+1}$\ Överför sinusfunktionen på exponentform: $sin(2t) = Im(e^{2it})$ detta ger att $Im(\mathcal{S}e^{2it}=H(2i)=\frac{1}{2i+1}(cos(2t)+isin(2t))$
Fråga 15
Q:
Ange sambandet mellan överföringsfunktionen och impulssvaret för ett LTI-system.
A:
$\mathcal{L}(h(t)) = H(s)$
Fråga 16
Q:
Ge ett exempel på en kvadratisk matris som inte är diagonaliserbar (med bevis att den inte är det).
A:
Exempel: $A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} $
Bevis: $\lambda1=\lambda2=0$ Om $A$ är diagonaliserbar så är $\mathcal{S}^{-1}A\mathcal{S} = \begin{bmatrix} \lambda1 && 0 \ 0 && \lambda2 \end{bmatrix} \Rightarrow A=\mathcal{S}0\mathcal{S}^{-1}=0$ : det sista stämmer ej.
Fråga 17
Q:
Finns det en diagonaliserbar matris med multipla egenvärden? Ge i så fall ett exempel (med bevis).
A:
Ja, till exempel $\begin{bmatrix} 1 && 0 \ 0 && 1 \end{bmatrix}$ som redan är diagonal. ($\lambda1=\lambda2=1$)
Fråga 18
Q:
Ange sambanden mellan spår, determinant och egenvärden för en matris.
A:
$tr(A)=\lambda1 + \ldots + \lambdan$\ $det(A)=\lambda1 \cdot \ldots \cdot \lambdan$
Fråga 19
Q:
Kommer ej på tentamen, tack Victor.
Fråga 20
Q:
Definiera matrisexponentialfunktionen $e^{At}$ för en godtycklig kvadratisk matris.
A:
$e^{At} = I + At + \frac{A^2t^2}{2} + \frac{A^3t^3}{3!} + \ldots$
Fråga 21
Q:
Vilken typ av termer uppträder i exponentialmatrisen $e^{tA}$? Hur kan man här se skillnad på diagonaliserbara och icke-diagonaliserbara matriser?
A:
Exponentialmatrisen $e^{At}$ innehåller $Cie^{\lambdait}$-termer i det fall att A är diagonaliserbar. Ifall matrisen är icke-diagonaliserbar så förekommer $Cit^ke^{\lambdait}$-termer.
Fråga 22
Q:
Definiera begreppet ortogonal matris.
A:
$A^T=A^{-1}$
Fråga 23
Q:
Formulera spektralsatsen för (reella) symmetriska matriser.
A:
Om A är en reell symmetrisk matris så är A diagonaliserbar med hjälp av en ortogonal matris $\mathcal{S}$.\ $\mathcal{S}^{-1}A\mathcal{S}=\begin{bmatrix} \lambda1 && && \ && \ddots && \ && && \lambdan \end{bmatrix} = \mathcal{S}^TA\mathcal{S}$ alla $\lambda_i$ är reella.
Fråga 24
Q:
Definiera begreppet kvadratisk form och ange hur en sådan brukar beskrivas i matrisform.
A:
$f(\mathcal{X})=\sum\limits{i,j=1}^{n} a{ij}xixj$
Fråga 25
Q:
Hur transformeras matrisen för en kvadratisk form vid ett linjärt koordinatbyte? Vilken är skillnaden mellan denna transformationsformel och motsvarande vid linjära avbildningar?
A:
Matrisen för linjärt koordinatbyte är en likformighetstransformation\ $\hat{A} = S^{-1}AS$, medan matrisen för en kvadratisk form transformeras genom en kongruenstransformation $\hat{K} = K^{-1}AS$.
Fråga 26
Q:
Ett LTI system av ändlig ordning är kausalt. Hur kan man med hjälp av dess överföringsfunktion avgöra om det är stabilt?
A:
Givet en godtycklig överföringsfunktion $ H(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} $ där P,Q är godtyckliga polynom. Då är ssystemet $\mathcal{S}$ stabilt om överföringsfunktionen uppfyller följande krav:
1) $deg(P(s)) \leq deg(Q(s))$
2) För alla lösningar, $s_i$, av $Q(s) = 0$ så är $Re(s) < 0$
Satser och tips och trix
$D=S^{-1}AS \Leftrightarrow A=SDS^{-1}$
$A^n=SD^{n}S^{-1}$
$f(t)\delta(t-a)=f(a)\delta(t-a)$
Frekvensfunktion: $H(i\omega)$
Amplitudfunktion: $A(\omega)=|H(i\omega)|$
Fasfunktion: $\phi(\omega)=arg(H(i\omega))$
$H(i\omega)=A(\omega)e^{i\phi(\omega)}$
Egenvärdena till en diagonalmatris är egenvärdena.
$e^{At}=Se^{Dt}S^{-1}$, vilket betyder att ifall man diagonaliserar matrisen $A$ och tar fram $S$ så kan man få fram exponentialmatrisen enkelt genom denna sats.
$|t|=2t\theta(t)-t$
${\int}f(t)\theta(t-a)dt=[F(t)-F(a)]\theta(t-a)$
Om något $\lambda_i=0$ för matrisen $A$ så är $det(A)=0\Rightarrow$ ej inverterbar
Om något $\lambda_i=0$ för matrisen $A$ så är matrisen ej ortogonal eftersom denna inte är inverterbar.
När en matris determinant är positiv så är matrisen stabil.
$B(t)=e^{At}$, $B(2)^2=e^{2A2}$
Istället för att kvadratkomplettera den kvadratiska formen kan man gaussa matrisen $K$ så att denna har 1:or diagonalt. $d_i$ blir då det man delar respektive rad med för att få en etta på diagonalen.
Alla $d_i>0$: positivt definit matris
Alla $d_i<0$: negativt definit matris
Alla $d_i\geq0$: positivt semidefinit matris
Alla $d_i\leq0$: negativt semidefinit matris
Matrisen har både $di<0$ och $di>0$: indefinit matris
$e^0 = I$
För att lösa begynnelsevärdesproblemet: $X'=AX, X(0)=\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}$ kan man använda $X(t)=e^{At}X(0)$ för att enkelt lösa problemet.
En matris är diagonaliserbar ifall alla egenvärden är unika.
En matris är inverterbar då $det(A)\ne0$
En matris är symmetrisk då den inte innehåller imaginära egenvärden.
Om $tr(A)<0$ så måste minst ett av egenvärdena vara mindre än noll.
$u=Sv$, $\frac{du}{dt}=Au$
$f(x1,x2)=x1^2+2x2^2$: positivt definit
$f(x1,x2,x3)=x1^2+2x_2^2$: positivt semidefinit
Exempeluppgifter
Hur många egenvärden < 2?
$A=\begin{bmatrix}1&&2&&3\2&&3&&4\3&&4&&5\end{bmatrix}$\ För att lösa detta gör vi följande: $(A-2I)=B$\ Om $AX=\lambda B$ så $BX=(A-2I)X=\lambda X-2X=(\lambda-2)X$. Gaussning med denna nya matris ger samma egenvektorer men $\lambdai-2$ som egenvärde. Eftersom $\lambdai-2<0 \Leftrightarrow \lambdai<2$ så följer: $B=A-2I=\begin{bmatrix}-1&&2&&3\2&&1&&4\3&&4&&3\end{bmatrix}$ gaussning av denna matris ger ut: $d1=-1$,$d2=5$,$d3=-8$. De egenvärden som < 0 är de vi söker. $d1$ och $d3$ uppfyller detta. Alltså har vi två egenvärden som är mindre än noll.